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1. Integraldefinition #
1. Sei $f$ eine geeignet gewählte holomorphe Funktion. Dann definiert man für eine quadratische Matrix $A$ die Matrixfunktion $f(A)$ zu $$ f(A) := {1\over2\pi i}\int_\Gamma f(\lambda) (I\lambda-A)^{-1} d\lambda. $$ Wegen des Satzes von Cauchy, Cauchy, Augustin Louis (1789--1857), hängt $f(A)$ nicht von der Wahl der Kurve $\Gamma$ ab. Offensichtlich ist $S^{-1}f(A)S=f(S^{-1}AS)$, für jede invertierbare $(n\times n)$-Matrix $S$. Ohne Einschränkung kann man deshalb $A$ bei den weiteren Überlegungen als Jordanmatrix, Jordan, Camille (1838--1922), voraussetzen. Also $A = J = \mathop{\rm diag}(J_\nu)_{\nu=1}^k$, wobei $J_\nu$ Jordanblock ist. Es ist $$ f(J) = {1\over2\pi i}\int_\Gamma f(\lambda) (I\lambda-J)^{-1} d\lambda = \mathop{\rm diag}{\nu=1}^k \left({1\over2\pi i}\int\Gamma f(\lambda) (I\lambda-J_\nu)^{-1} d\lambda\right) = \mathop{\rm diag}{\nu=1}^k f(J\nu). $$ Viele Behauptungen reduzieren sich damit also sogar lediglich auf die Betrachtung eines einzelnen Jordanblockes $J_\nu$, mit $J_\nu=\lambda_0\delta_{xy}+\left(\delta_{x+1,y}\right)_{x,y=1}^m$.
2. Sei nun $J$ Jordan-Block der Größe $k\times k$ zum Eigenwert $\lambda_0$. Dann gilt $$ f(J) = \pmatrix{ f(\lambda_0) & {1\over1!}f'(\lambda_0) & \ldots & {1\over(k-1)!}f^{(k-1)}(\lambda_0)\cr 0 & f(\lambda_0) & \ldots & \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\cr 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_0)\cr } $$ Insbesondere für die spezielle Funktion $f(\lambda):=\lambda^n$ ergibt sich $$ J^n = \pmatrix{ \lambda^n & {n\choose1}\lambda^{n-1} & \ldots & {n\choose k-1}\lambda^{n-k+1}\cr 0 & \lambda^n & \ldots & \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\cr 0 & 0 & \ldots & \lambda^n\cr }, $$ wobei $\lambda^{-j}:=0$, für $j\in\mathbb{N}$.
3. Diese Darstellungen finden ihre Begründung durch den folgenden Satz, obwohl für den Fall $\lambda^n$ die Darstellung auch leicht direkt unter Benutzung von $J^n = (\lambda I + N)^n$, mit geeignetem Nilpotenzblock $N$ und der binomischen Formel bewiesen werden kann. Man braucht dann nicht den ganzen Weg über Matrizenfunktionen zu gehen. Möchte man die Integraldarstellung stärker berücksichtigen rechnet man wie folgend. Allgemein ist $f(A)=(1/2\pi i)\int_\Gamma f(z)(Iz-A)^{-1}dz$. Entwicklung des Cauchy-Kernes liefert $$ (Iz-A)^{-1} = {1\over z} \sum_{\nu=0}^\infty \left(A\over z\right)^\nu, \qquad \mathopen|z\mathclose| > \rho(A). $$ Dann berechnet man das Residuum durch Vertauschen von Integration und Summation zu $$ {1\over2\pi i} \int_\Gamma z^k (Iz-A)^{-1} dz = {1\over2\pi i} \int_\Gamma z^k {1\over z} \left(I+{A\over z}+\cdots+{A^k\over z^k}+\cdots\right) dz = A^k. $$
4. Satz: Es ist $$ {1\over2\pi}\int_\Gamma (I\lambda-A)^{-1}d\lambda = I,\qquad {1\over2\pi}\int_\Gamma \lambda(I\lambda-A)^{-1}d\lambda = A. $$ Sind $f$ und $g$ holomorph auf (möglicherweise verschiedenen) Umgebungen des Spektrums von $A$, so gilt $$ (\alpha f+\beta g)=\alpha f(A)+\beta g(A),\qquad (f\cdot g)(A)=f(A){\mskip 3mu}g(A). $$
Beweis: Es genügt, w.o. bemerkt, sich auf ein einziges Jordankästchen $J$ der Größe $m\times m$ zu beschränken. Es sei $\Gamma$ ein positiv orientierter Kreis um $\lambda_0$. Es ist $$ \eqalign{ (I\lambda-J)^{-1} &= {I\over\lambda-\lambda_0} + {N\over(\lambda-\lambda_0)^2} + \cdots + {N^{m-1}\over(\lambda-\lambda_0)^m} \cr &= \pmatrix{ (\lambda-\lambda_0)^{-1} & (\lambda-\lambda_0)^{-2} & \ldots & (\lambda-\lambda_0)^{-m}\cr & \ddots & \ddots & \vdots\cr & & \ddots & (\lambda-\lambda_0)^{-2}\cr 0 & & & (\lambda-\lambda_0)^{-1}\cr }, \cr } $$ wobei $N = (\delta_{x+1,y})_{x,y}^m$, also $N^m=0\in\mathbb{C}^{m\times m}$ ist. Wegen $\int_\Gamma d\lambda/(\lambda-\lambda_0)=2\pi i$, und $\int_\Gamma (\lambda-\lambda_0)^k d\lambda=0$, für $k\in\mathbb{Z}\setminus{-1}$ gilt offensichtlich ${1\over2\pi i}\int_\Gamma (I\lambda-J)d\lambda=I$ und $$ {1\over2\pi i}\int_\Gamma \lambda{\mskip 3mu}(I\lambda-J)^{-1}d\lambda = {1\over2\pi i}\int_\Gamma \left((\lambda-\lambda_0)+\lambda_0\right)(I\lambda-J)^{-1}d\lambda = N + I\lambda_0 = J. $$ Die additive Linearität ist klar. Für die multiplikative Aussage schließt man: Ist $f(\lambda)=\sum_{k=0}^\infty (\lambda-\lambda_0)^k f_k$ und $g(\lambda)=\sum_{k=0}^\infty (\lambda-\lambda_0)^k g_k$, so ist $f(\lambda)g(\lambda)=\sum_{k=0}^\infty (\lambda-\lambda_0)^k h_k$, mit $h_k=\sum_{i=0}^k f_i g_{k-i}$. Folglich $$ \eqalign{ f(J){\mskip 3mu}g(J) &= \pmatrix{ f_0 & f_1 & \ldots & f_{m-1}\cr & \ddots & & \vdots\cr 0 & & \ddots & f_1\cr & & & f_0\cr} \cdot \pmatrix{ g_0 & g_1 & \ldots & g_{m-1}\cr & \ddots & & \vdots\cr 0 & & \ddots & g_1\cr & & & g_0\cr} \cr &= \pmatrix{ h_0 & h_1 & \ldots & h_{m-1}\cr & \ddots & & \vdots\cr 0 & & \ddots & h_1\cr & & & h_0\cr} = (f\cdot g)(J). \cr } $$ ☐
Mit der Darstellung für $J^n$ ergibt sich leicht der folgende Sachverhalt.
5. Satz: Sei $J$ eine beliebige Jordanmatrix. Dann gelten:
(1) $J^n\to0$ genau dann, wenn $\left|\lambda\right| < 1$.
(2) $\sup_{n=1}^\infty|J^n|\le\rm const$ genau dann, wenn $\left|\lambda\right| \le 1$ und zu Eigenwerten vom Betrage 1 nur lineare Elementarteiler gehören, also die Jordanblöcke zum Eigenwert 1 stets von der Größe $(1\times 1)$ sind.
Wegen $A=XJY$, $Y=X^{-1}$ und damit $A^n=XJ^nY$ und wegen $\left|A^n\right|\le\left|X\right|\cdot\left|J^n\right|\cdot\left|Y\right|$, erhält man daher für eine beliebige quadratische Matrix $A$ den folgenden Satz.
6. Satz: Seien $\lambda_i$ für $i=1,\ldots k$, die Eigenwerte der Matrix $A$. Dann gelten
(1) $\def\mapright#1{\mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}}|A|\mapright{n\to\infty}0$ genau dann, wenn $|\lambda_i|<1$, für alle $i=1,\ldots,k$, und
(2) $|A^n|$ beschränkt für alle $n\in\mathbb{N}$ genau dann, wenn $|\lambda_i|\le1$ und zu Eigenwerten vom Betrage 1, nur $(1\times 1)$-Jordanblöcke korrespondieren.
7. Bemerkung: Es gelten die Äquivalenzen $$ \rho(A)<1 \iff A^n\to0 \iff \sum_{n=0}^\infty A^n = (I-A)^{-1} \iff \left|\sum_{n=0}^\infty A^n\right|<\infty . $$
Beweis: Zu: $\sum_{n=0}^\infty A^n=(I-A)^{-1}$, falls $\rho(A)<1$. Ist $\lambda$ Eigenwert von $A$, so ist $(1-\lambda)$ Eigenwert von $(I-A)$. Wegen $|\lambda|<1$, ist $(I-A)$ invertierbar. Weiter $$ \eqalign{ & I = (I-A)(I+A+\cdots+A^n)+A^{n+1}{\mskip 3mu} \cr \Rightarrow{\mskip 3mu} & (I-A)^{-1} = (I+A+\cdots+A^n)+(I-A)^{-1}A^{n+1}. \cr } $$ Somit gilt für alle $n\in\mathbb{N}$ $$ \bigl|(I-A)^{-1}-(I+A+\cdots+A^n)\bigr| \le \left|(I-A)^{-1}\right|\cdot\left|A^{n+1}\right| $$ und damit folgt wegen $A^n\to0$, die Behauptung. Die Rückrichtung $\rho(A)<1$, falls $\sum A^n = (I-A)^{-1}$ ist klar aufgrund der notwendigen Konvergenzbedingung für die Reihe. Die restlichen Äquivalenzen ergeben sich u.a. mit Hilfe des vorhergehenden Satzes und sind offensichtlich. ☐
8. Eine andere Anwendung für die Darstellung von $J^n$, ist die Lösungsdarstellung für homogene, lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten. Durch Übergang von der Begleitmatrix zur Jordanmatrix erkennt man dann recht schnell die Lösungsdarstellung für die Differenzengleichung. Es ist $$ % \begingroup\let\oldleft=\left \let\oldright=\right \def\left#1{\oldleft|} \def\right#1{\oldright|} \begin{vmatrix} && \leftarrow\lambda & \leftarrow\lambda & \ldots & \leftarrow\lambda & \leftarrow\lambda\cr &I\lambda & -I & 0 & \ldots & 0 & 0\cr &0 & I\lambda & -I & \ldots & 0 & 0\cr &\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\cr & &&&& I\lambda & -I\cr &A_0 & A_1 & & \ldots & A_{\ell-1} & I\lambda+A_{\ell-1}\cr \end{vmatrix} % \endgroup = \left|\matrix{ 0 & -I & 0 & \ldots & 0\cr 0 & 0 & -I & \ldots & 0\cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\cr &&&& -I\cr L(\lambda) & * & \ldots & * & I\lambda+A_{\ell-1}\cr }\right| $$ also $$ \left|I\lambda-C_1\right| = \det L(\lambda). $$
9. Satz: Voraussetzung: Es habe $L(\lambda)=\lambda^\ell+a_{\ell-1}\lambda^{\ell-1}+\cdots+a_0 \in \mathbb{C}$ die Faktorisierung $$ L(\lambda) = (\lambda-\mu_1)^{\eta_1} (\lambda-\mu_2)^{\eta_2} \ldots (\lambda-\mu_k)^{\eta_k}. $$
Behauptung: Der Lösungsraum der homogenen, linearen Differenzengleichung $a_{m+\ell}+a_{\ell-1}x_{m+\ell-1}+\cdots+a_0x_m=0$ hat die Dimension $\ell$ und wird aufgespannt von $$ x_m = \sum_{\nu=1}^k p_\nu(m) \mu_\nu^m, \qquad m=0,1,\ldots, $$ wobei $\mathop{\rm grad} p_\nu=\eta_\nu-1$, $\nu=1,\ldots,k$. Der Fall $\mathop{\rm grad} p_\nu=0$ bedeutet dabei Konstante.
Beweis: Sei $u_m:=(x_{m-1+\ell},\ldots,x_m)\in\mathbb{C}^\ell$. Die Lösung der Differenzengleichung $L(E)x_m=0$ lautet $u_m = C_1^m u_0 = X J^m Y u_0$, wobei $Y=X^{-1}$ die Matrix der Linksjordanvektoren und $X$ die Matrix der Rechtsjordanvektoren ist. Die Multiplikation von links mit $X$ und von rechts mit $Y$ bewirkt eine Vermischung der einzelnen Jordankästchen. Nach Ausklammern von gemeinsamen Faktoren stehen vor $\mu_\nu$ Summen von Binomialkoeffizienten $m\choose\rho_\nu$, $0\le\rho_\nu<\eta_\nu$, $\nu=1,\ldots,k$, also Polynome in $m$. Da $C_1$ stets nicht-derogatorisch ist -- betrachte Minor $(C_1)_{1,\ldots,n-1}^{2,\ldots,n}$ -- beträgt der Grad von $p_\nu$ genau $\eta_\nu-1$, wegen $\mathop{\rm grad}{m\choose\eta_\nu-1}=\eta_\nu-1$. Aufgrund von $\sum\eta_\nu=\ell$ hat man insgesamt $\ell$ freie Parameter. Noch zu zeigen: die lineare Unabhängigkeit der angegebenen Lösung. ☐
10. Corollar: Die Folgen $(m^i{\mskip 3mu}\mu_\nu^m)$, $i=0,\ldots,\eta_\nu-1$, für $\nu=1,\ldots,\ell$, bilden eine Basis für den Lösungsraum der Differenzengleichung.
2. Homomorphismus in obere Dreiecksmatrizen #
1. Es gibt auch einen anderen Zugang zu holomorphen Matrixfunktionen, siehe den Artikel der beiden Autoren Yasuhiko Ikebe und Toshiyuki Inagaki, Ikebe/Inagaki (1986), "An Elementary Approach to the Functional Calculus for Matrices", The American Mathematical Monthly, Vol 93, No 3, May 1986, pp.390--392
Sei $f$ in einer Umgebung von ${\lambda_1,\ldots,\lambda_r}$ genügend oft differenzierbar. Für ein festes $n\in\mathbb{N}$ setzt man $$ f^(z) := \pmatrix{ f(z) & f'(z) & f''(z)/2! & \ldots & f^{(n-1)}(z)/(n-1)!\cr & f(z) & f'(z) & \ldots & \vdots\cr & & \ddots & \ddots & f''(z)/2!\cr 0 & & & \ddots & f'(z)\cr & & & & f(z)\cr } $$ Für $f(z)=z$ ergibt sich $$ f^(z) = \pmatrix{ \lambda & 1 & \ldots & 0\cr & \ddots & \ddots & \vdots\cr & & \ddots & 1\cr & & & \lambda\cr } = J, $$ d.h. also ein einfacher Jordanblock der Größe $n\times n$ zum Eigenwert $\lambda$. Mit $J$ sei stets ein solcher Jordanblock gemeint. Ist $f(z)\equiv c=\rm const$, so ist $f^*(z)=cI$.
Die Abbildung $*\colon f\rightarrow f^*$ ist ein Homomorphismus der Algebra der analytischen Funktionen in einer Umgebung von ${\lambda_1,\ldots,\lambda_r}$ in die kommutative Algebra der oberen Dreiecksmatrizen.
2. Satz: (Homomorphiesatz) Es gelten
(1) $(f+g)^* = f^* + g^*$, Additivität,
(2) $(cf)^* = c{\mskip 3mu}f^*$, $c\in\mathbb{C}$ fest, Homogenität,
(3) $(fg)^* = f^* {\mskip 3mu} g^* = g^* {\mskip 3mu} f^*$, Multiplikation und Kommutativität,
(4) $(f/g)^* = f^* {\mskip 3mu} (g^*)^{-1} = (g^*)^{-1}{\mskip 3mu} f^*$, falls $g^*(z)\ne0$, Quotientenbildung und Kommutativität,
(5) $(1/g)^* = (g^*)^{-1}$, falls $g^*(z)\ne0$, Inversenbildung.
Durch wiederholtes Anwenden von (1), (2) und (4) ergibt sich sofort
3. Corollar: Sei $f$ eine rationale Funktion ohne Pol in $\lambda$ und sei $f=p/q$ die vollständig gekürzte Darstellung, mit also teilerfremden Polynomen $p$ und $q$. Dann gilt $$ f^*(\lambda) = p(J){\mskip 3mu} \left[q(J)\right]^{-1} = \left[q(J)\right]^{-1} p(J). $$
Aber auch für Potenzreihen rechnet man wie erwartet. Dies zeigt die
4. Folgerung: Sei $f(\lambda)=a_0+a_1z+\cdots{\mskip 3mu}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius echt größer als $\left|\lambda\right|$. Dann gilt $ f^*(\lambda) = a_0I+a_1J+\cdots{\mskip 3mu}. $
Zu einer vorgegebenen festen quadratischen Matrix $A$ sei die (bis auf Permutation eindeutige) Jordannormalform $X^{-1}AX=\mathop{\rm diag}\left(J_1,\ldots,J_m\right)$ betrachtet. Hierbei ist $X$ (Matrix der Rechtsjordanketten) invertierbar. $J_i$ bezeichnet einen einfachen Jordanblock zum Eigenwert $\mu_i$, $i=1,\ldots,m$. Die $\mu_i$ müssen nicht notwendig verschieden sein. Ist $f$ eine analytische Funktion in der Umgebung von ${\mu_1,\ldots,\mu_m}$, so definiert man $f(A)$ durch $$ X^{-1} f(A) X := \mathop{\rm diag}\left[f^(\mu_1), \ldots, f^(\mu_m)\right]. $$ Das Corollar und die Folgerung zeigen, daß $f(A)$ übereinstimmt mit dem, was man gängigerweise erwartet, zumindestens für rationale Funktionen und für Potenzreihen. Direkt aus der Definition folgt
5. Satz: Identitätssatz. Seien $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ die verschiedenen Eigenwerte von $A$. Die Funktionen $f$ und $g$ seinen analytisch in einer Umgebung von ${\lambda_1,\ldots,\lambda_r}$. Dann gilt Gleichheit $f(A)=g(A)$ genau dann, wenn die Ableitungen an den Eigenwerten bis zu entsprechender Ordnung übereinstimmen, also $$ f^{(i)}(\lambda_k) = g^{(i)}(\lambda_k),\qquad i=0,\ldots,m_k-1,\quad k=1,\ldots,r, $$ wobei $m_k$ die Größe des größten Jordanblockes zum Eigenwert $\lambda_k$ bezeichnet.
Die oben als Definition für $f(A)$ benutzte Integralformel lässt sich nun, da Funktionen von Matrizen jetzt anders definiert wurden, auch beweisen.
6. Satz: Integraldarstellung für $f(A)$. Sei $\Gamma$ eine einfache geschlossene Kurve, die in ihrem Inneren die sämtlichen Eigenwerte von $A$ umschließt. Sei $f$ holomorph auf $\Gamma$ und im Inneren von $\Gamma$. Dann gilt $$ f(A) = {1\over2\pi i} \int_\Gamma f(\tau) (I\tau-A)^{-1} d\tau. $$
Beweis: Wie üblich reduziert sich der Beweis auf die Betrachtung eines einzelnen Jordanblockes $J$ der Größe $n\times n$. Man rechnet $$ \def\fracstrut{} \eqalignno{ f(J) &= f^*(\lambda_k) \qquad\hbox{(nach Corollar und Folgerung)}\cr &= {1\over2\pi i} \int_\Gamma f(\tau) \pmatrix{ \displaystyle{1\over\tau-\lambda_k} & \displaystyle{1\over(\tau-\lambda_k)^2} & \ldots & \displaystyle{1\over(\tau-\lambda_k)^n}\fracstrut\cr & \ddots & \ddots & \vdots\fracstrut\cr 0 & & \ddots & \displaystyle{1\over(\tau-\lambda_k)^2}\fracstrut\cr & & & \displaystyle{1\over\tau-\lambda_k}\fracstrut\cr} d\tau \cr &= {1\over2\pi i} \int_\Gamma f(\tau) (I\tau-J)^{-1} d\tau.\cr } $$ Beim Übergang von der ersten Zeile zur zweiten Zeile wurde benutzt % $$ f^{(\nu)}(z) = {\nu!\over2\pi i} \int_\Gamma {f(\tau)\over(\tau-z)^{\nu+1}} d\tau, \qquad \nu=0,\ldots,k $$ und beim Übergang von der $2^{\rm ten}$ zur $3^{\rm ten}$, daß die Inverse von $I\tau-J$ halt so aussieht. ☐
Der vorletzte Satz (Identitätssatz für Matrixfunktionen) zeigt, daß für eine feste Matrix $A$, die Matrixfunktion als Matrixpolynom darstellbar ist, da eine Übereinstimmung nur an endlich vielen Ableitungen gefordert ist. Sind die $m_k$ ($k=1,\ldots,r$) bekannt, so kann für eine feste Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ein Ansatz der Form $g(\lambda) = a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ gemacht werden, und man erhält die $a_i$ als Lösung einer Hermiteschen Interpolationsaufgabe. Sind alle Eigenwerte verschieden, also $m_k=1$ ($k=1,\ldots,r$), so liegt eine gewöhnliche Interpolationsaufgabe zugrunde. Die Lösung geschieht beispielsweise mit Newtonschen Differenzen oder der Lagrangeschen Formel, u.U. auch über die Cramersche Regel. Zu überprüfen ist, ob $f(\lambda)$ für die Eigenwerte $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ auch tatsächlich definiert ist. Probleme treten z.B. auf bei $f(\lambda)=\sqrt\lambda$, $f(\lambda)=\ln\lambda$, für $\lambda\notin\mathbb{R}^+$. Für $A\in\mathbb{C}^{1\times1}$ entartet die Aussage des Identitätssatzes in eine leere Aussage, nämlich $f=g\iff f=g$.
Einfache Folgerungen direkt aus der Definition von Matrizenfunktionen sind nun die folgenden Ergebnisse.
7. Satz: Satz von Cayley/Hamilton, 1.te Fassung, Cayley, Arthur (1821--1895), Hamilton, William Rowan (1805--1865). Das charakteristische Polynom $\chi(z)=\det(Iz-A)$ für $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ annulliert als Matrixpolynom aufgefaßt $A$, also es gilt $\chi(A)=0\in\mathbb{C}^{n\times n}$.
Beweis: Nach Charles A. McCarthy (1975): "The Cayley-Hamilton Theorem", The American Mathematical Monthly, April 1975, Vol 82, No 4, pp.390--391. Die Inverse von $Iz-A$ ist $\left[\det(Iz-A)\right]^{-1} M_{\mu\nu}(z)$, wobei $\mathop{\rm grad} M_{\mu\nu}\le n-1$. Die Integraldarstellung von $\chi(A)$ liefert $$ \left.\chi(A)\right|{\mu\nu} = {1\over2\pi i} \int\Gamma \chi(z) (Iz-A)^{-1}{\mskip 3mu}dz = {1\over2\pi i} \int_\Gamma \det(Iz-A) \left[\det(Iz-A)\right]^{-1} M_{\mu\nu}(z){\mskip 3mu}dz = 0, $$ nach dem Cauchyschen Integralsatz ($\int_\Gamma f=0$, $f$ holomorph). ☐
8. Definition: Zu einer Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mit Eigenwerten $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ ($r\le n$) und Jordannormalform $A\sim\mathop{\rm diag}(J_1,\ldots,J_s)$ ($r\le s\le n$) heißt $$ \hat\chi(z) = (z-\lambda_1)^{m_1}\cdot\ldots\cdot(z-\lambda_r)^{m_r} $$ das Minimalpolynom zu $A$. Hierbei ist $m_\nu$ die Ordnung des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\lambda_\nu$. Zu $A={1{\mskip 3mu}0\choose0{\mskip 3mu}2}$ ist $\hat\chi(z)=(z-1)(z-2)$, zu $A=I$ ist $\hat\chi(z)=z-1$ unabhängig von $n$, und zu $A=\mathop{\rm diag}[{1{\mskip 3mu}1\choose0{\mskip 3mu}1},1,1,1]$ ist $\hat\chi(z)=(z-1)^2$ das Minimalpolynom.
9. Ähnliche Matrizen haben die gleiche Jordannormalform bis auf Umnumerierung von Jordanblöcken, daher das gleiche Minimalpolynom und auch das gleiche charakteristische Polynom. Offensichtlich verschwindet jeder Faktor $(J-\lambda_\nu I)^k$ ($\forall k\ge m_\nu$) für jeden Jordanblock $J$ zum Eigenwert $\lambda_\nu$, also $\hat\chi(A)=0\in\mathbb{C}^{n\times n}$, aber $(J-\lambda_\nu I)^k\ne0$ ($\forall k<m_\nu$). Damit ist $\hat\chi(z)$ ein Polynom minimalen Grades, welches $A$ annulliert. Aufgrund des führenden Leitkoeffizienten gleich 1 ist $\hat\chi(z)$ sogar eindeutig bestimmt. Da $\hat\chi$ stets Teiler von $\chi(z)=\det(Iz-A)$ ist, folgt
10. Satz: Satz von Cayley/Hamilton, 2.te Fassung, Cayley, Arthur (1821--1895), Hamilton, William Rowan (1805--1865). $\chi(A)=0\in\mathbb{C}^{n\times n}$. In Worten: Die Matrix $A$ annulliert ihr eigenes charakteristisches Polynom.